N°51 Page 180
Bézout & Gauss
$\textcolor{#caa7ff}{n}$ désigne un nombre entier naturel tel que $\textcolor{#caa7ff}{n \ge 2}$.
On pose :
$$\textcolor{#caa7ff}{
a = n^2 + 2n - 3
\text{ et }
b = n^2 + 4n + 3
}$$
a) Factoriser $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$.
b) Déterminer $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(n-1;n+1)}$ en distinguant les cas $\textcolor{#caa7ff}{n}$ pair et $\textcolor{#caa7ff}{n}$ impair.
c) Exprimer alors $\textcolor{#caa7ff}{PGCD(a;b)}$ en fonction de $\textcolor{#caa7ff}{n}$.
a) $\textcolor{#caa7ff}{a}$ et $\textcolor{#caa7ff}{b}$ sont des polynômes de degré 2. Determinons leur forme factorisée:
Pour $\textcolor{#caa7ff}{a}$ :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\Delta = 16
\quad n_1 = -3
\quad n_2 = 1
\newline
\Rightarrow
a = (n+3)(n-1)
}$$
Pour $\textcolor{#caa7ff}{b}$:
$$\textcolor{#caa7ff}{
\Delta = 4
\quad n_1 = -3
\quad n_2 = -1
\newline
\Rightarrow
b = (n+3)(n+1)
}$$
b)
D'après l'algorithme d'Euclide :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(n-1;n+1)
= PGCD(n-1;r)
\quad \text{avec } r \equiv n+1 \pmod{n-1}
}$$
Or $\textcolor{#caa7ff}{n+1 \equiv 2 \pmod{n-1}}$, alors :
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(n-1;n+1)
= PGCD(n-1;2)
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
PGCD(n-1;n+1) =
\begin{cases}
1 & \text{si } n \text{ est pair} \newline
2 & \text{si } n \text{ est impair}
\end{cases}
}
}$$
c)
$$\textcolor{#caa7ff}{
PGCD(a;b)
= PGCD((n+3)(n-1);(n+3)(n+1))
= (n+3)PGCD(n-1;n+1)
}$$
Donc :
$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
PGCD(a;b) =
\begin{cases}
n+3 & \text{si } n \text{ est pair} \newline
2n+6 & \text{si } n \text{ est impair}
\end{cases}
}
}$$